0 25 log x 1 16 log x 3 0 Εглиτ тωπеγ Mengapa Log x 0,25 adalah 1 dan Log x 16 adalah 3,0: Penjelasan Dalam Logaritma

0 25 log x 1 16 log x 3 0 Етጤኙ а мавω Membongkar Misteri Logaritma: Mengapa 0,25 Log x adalah 1 dan 16 Log x adalah 3,0

Логарифм. Как вычислить логарифм?

Объясним проще. Например, \(\log_\) равен степени, в которую надо возвести \(2\), чтоб получить \(8\). Отсюда понятно, что \(\log_=3\).

Аргумент и основание логарифма

Любой логарифм имеет следующую «анатомию»:

Аргумент логарифма обычно пишется на его уровне, а основание - подстрочным шрифтом ближе к знаку логарифма. А читается эта запись так: «логарифм двадцати пяти по основанию пять».

Как вычислить логарифм?

Чтобы вычислить логарифм - нужно ответить на вопрос: в какую степень следует возвести основание, чтобы получить аргумент?

а) В какую степень надо возвести \(4\), чтобы получить \(16\)? Очевидно во вторую. Поэтому:

б) В какую степень надо возвести \(3\), чтобы получить \(\frac\) ? В минус первую, так как именно отрицательная степень «переворачивает дробь» (здесь и далее пользуемся свойствами степени ).

в) В какую степень надо возвести \(\sqrt\), чтобы получить \(1\)? А какая степень делает любое число единицей? Ноль, конечно!

г) В какую степень надо возвести \(\sqrt\), чтобы получить \(\sqrt\)? В первую – любое число в первой степени равно самому себе.

д) В какую степень надо возвести \(3\), чтобы получить \(\sqrt\)? Из свойств степени мы знаем, что корень – это дробная степень, и значит квадратный корень - это степень \(\frac\) .

В сложных случаях для вычисления логарифма удобно переводить его в показательное уравнение.

Пример: Вычислить логарифм \(\log_>\)

Нам надо найти значение логарифма, обозначим его за икс. Теперь воспользуемся определением логарифма:
\(\log_=b\) \(\Leftrightarrow\) \(a^=c\)

Что связывает \(4\sqrt\) и \(8\)? Двойка, потому что и то, и другое число можно представить степенью двойки:
\(4=2^\) \(\sqrt=2^>\) \(8=2^\)

Слева воспользуемся свойствами степени: \(a^\cdot a^=a^\) и \((a^)^=a^\)

Основания равны, переходим к равенству показателей

Умножим обе части уравнения на \(\frac\)

Получившийся корень и есть значение логарифма

Зачем придумали логарифм?

Чтобы это понять, давайте решим уравнение: \(3^=9\). Просто подберите \(x\), чтобы равенство сработало. Конечно, \(x=2\).

А теперь решите уравнение: \(3^=8\).Чему равен икс? Вот в том-то и дело.

Самые догадливые скажут: «икс чуть меньше двух». А как точно записать это число? Для ответа на этот вопрос и придумали логарифм. Благодаря ему, ответ здесь можно записать как \(x=\log_\).

Хочу подчеркнуть, что \(\log_\), как и любой логарифм - это просто число. Да, выглядит непривычно, но зато коротко. Потому что, если бы мы захотели записать его в виде десятичной дроби, то оно выглядело бы вот так: \(1,892789260714. \)

Пример: Решите уравнение \(4^=10\)

\(4^\) и \(10\) никак к одному основанию не привести. Значит тут не обойтись без логарифма.

Воспользуемся определением логарифма:
\(a^=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_=b\)

Зеркально перевернем уравнение, чтобы икс был слева

И не пугайтесь логарифма, относитесь к нему как к обычному числу.

Поделим уравнение на 5

Вот наш корень. Да, выглядит непривычно, но ответ не выбирают.

Десятичный и натуральный логарифмы

Как указано в определении логарифма, его основанием может быть любое положительное число, кроме единицы \((a>0, a\neq1)\). И среди всех возможных оснований есть два встречающихся настолько часто, что для логарифмов с ними придумали особую короткую запись:

Натуральный логарифм: логарифм, у которого основание - число Эйлера \(e\) (равное примерно \(2,7182818…\)), и записывается такой логарифм как \(\ln\).

Десятичный логарифм: логарифм, у которого основание равно 10, записывается \(\lg\).

Основное логарифмическое тождество

У логарифмов есть множество свойств. Одно из них носит название «Основное логарифмическое тождество» и выглядит вот так:

Это свойство вытекает напрямую из определения. Посмотрим как именно эта формула появилась.

Вспомним краткую запись определения логарифма:

Остальные свойства логарифмов вы можете найти здесь . С их помощью можно упрощать и вычислять значения выражений с логарифмами, которые «в лоб» посчитать сложно.

Пример: Найдите значение выражения \(36^<\log_<6>>\)

Зная формулу \((a^)^=a^\), а так же то, что множители можно менять местами, преобразовываем выражение

Вот теперь спокойно пользуемся основным логарифмическим тождеством.

Как число записать в виде логарифма?

Как уже было сказано выше – любой логарифм это просто число. Верно и обратное: любое число может быть записано как логарифм. Например, мы знаем, что \(\log_\) равен двум. Тогда можно вместо двойки писать \(\log_\).

Но \(\log_\) тоже равен \(2\), значит, также можно записать \(2=\log_\) . Аналогично и с \(\log_\), и с \(\log_\), и т.д. То есть, получается

Таким образом, если нам нужно, мы можем где угодно (хоть в уравнении, хоть в выражении, хоть в неравенстве) записывать двойку как логарифм с любым основанием – просто в качестве аргумента пишем основание в квадрате.

Точно также и с тройкой – ее можно записать как \(\log_\), или как \(\log_\), или как \(\log_\)… Здесь мы как аргумент пишем основание в кубе:

0 25 log x 1 16 log x 3 0

The var statement declares function-scoped or globally-scoped variables, optionally initializing each to a value.

Try it

Syntax

var name1; var name1 = value1; var name1 = value1, name2 = value2; var name1, name2 = value2; var name1 = value1, name2, /* …, */ nameN = valueN; 

The name of the variable to declare. Each must be a legal JavaScript identifier or a destructuring binding pattern.

Initial value of the variable. It can be any legal expression. Default value is undefined .

Description

The scope of a variable declared with var is one of the following curly-brace-enclosed syntaxes that most closely contains the var statement:

• Function body
• Static initialization block

Or if none of the above applies:

• The current module, for code running in module mode
• The global scope, for code running in script mode.

function foo()  var x = 1; function bar()  var y = 2; console.log(x); // 1 (function `bar` closes over `x`) console.log(y); // 2 (`y` is in scope) > bar(); console.log(x); // 1 (`x` is in scope) console.log(y); // ReferenceError, `y` is scoped to `bar` > foo(); 

Importantly, other block constructs, including block statements, try. catch , switch , headers of one of the for statements, do not create scopes for var , and variables declared with var inside such a block can continue to be referenced outside the block.

for (var a of [1, 2, 3]); console.log(a); // 3 

In a script, a variable declared using var is added as a non-configurable property of the global object. This means its property descriptor cannot be changed and it cannot be deleted using delete . JavaScript has automatic memory management, and it would make no sense to be able to use the delete operator on a global variable.

"use strict"; var x = 1; Object.hasOwn(globalThis, "x"); // true delete globalThis.x; // TypeError in strict mode. Fails silently otherwise. delete x; // SyntaxError in strict mode. Fails silently otherwise. 

In both NodeJS CommonJS modules and native ECMAScript modules, top-level variable declarations are scoped to the module, and are not added as properties to the global object.

The list that follows the var keyword is called a binding list and is separated by commas, where the commas are not comma operators and the = signs are not assignment operators. Initializers of later variables can refer to earlier variables in the list and get the initialized value.

Hoisting

var declarations, wherever they occur in a script, are processed before any code within the script is executed. Declaring a variable anywhere in the code is equivalent to declaring it at the top. This also means that a variable can appear to be used before it's declared. This behavior is called hoisting, as it appears that the variable declaration is moved to the top of the function, static initialization block, or script source in which it occurs.

Note: var declarations are only hoisted to the top of the current script. If you have two elements within one HTML, the first script cannot access variables declared by the second before the second script has been processed and executed.

= 2; var bla; 

This is implicitly understood as:

var bla; bla = 2; 

For that reason, it is recommended to always declare variables at the top of their scope (the top of global code and the top of function code) so it's clear which variables are scoped to the current function.

Only a variable's declaration is hoisted, not its initialization. The initialization happens only when the assignment statement is reached. Until then the variable remains undefined (but declared):

function doSomething()  console.log(bar); // undefined var bar = 111; console.log(bar); // 111 > 

This is implicitly understood as:

function doSomething()  var bar; console.log(bar); // undefined bar = 111; console.log(bar); // 111 > 

Redeclarations

Duplicate variable declarations using var will not trigger an error, even in strict mode, and the variable will not lose its value, unless the declaration has an initializer.

var a = 1; var a = 2; console.log(a); // 2 var a; console.log(a); // 2; not undefined 

var declarations can also be in the same scope as a function declaration. In this case, the var declaration's initializer always overrides the function's value, regardless of their relative position. This is because function declarations are hoisted before any initializer gets evaluated, so the initializer comes later and overrides the value.

var a = 1; function a() > console.log(a); // 1 

var declarations cannot be in the same scope as a let , const , class , or import declaration.

var a = 1; let a = 2; // SyntaxError: Identifier 'a' has already been declared 

Because var declarations are not scoped to blocks, this also applies to the following case:

let a = 1;  var a = 1; // SyntaxError: Identifier 'a' has already been declared > 

It does not apply to the following case, where let is in a child scope of var , not the same scope:

var a = 1;  let a = 2; > 

A var declaration within a function's body can have the same name as a parameter.

function foo(a)  var a = 1; console.log(a); > foo(2); // Logs 1 

A var declaration within a catch block can have the same name as the catch -bound identifier, but only if the catch binding is a simple identifier, not a destructuring pattern. This is a deprecated syntax and you should not rely on it. In this case, the declaration is hoisted to outside the catch block, but any value assigned within the catch block is not visible outside.

try  throw 1; > catch (e)  var e = 2; // Works > console.log(e); // undefined